ISSN : 2241-4665

Αρχική σελίδα περιοδικού C.V.P. Παιδαγωγικής & Εκπαίδευσης

Σύντομη βιογραφία του συγγραφέα

Κριτικές του άρθρου

ISSN : 2241-4665

Ημερομηνία έκδοσης: Αθήνα 20 Νοεμβρίου 2020

Παιδιά με δυσκολίες στα μαθηματικά: Κατανόηση των δεκαδικών αριθμών χρησιμοποιώντας ειδικές ράβδους Δρ. Χάλιος Ηλίας

Children with math difficulties: Understanding decimal numbers using special bars

Dr. Chalios I.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

Περίληψη…………………………………………………………………………………..3

Abstract………………………………………………………………………………….....4

1.Εισαγωγή…………………………………………………………………………………5

2. Παιδιά με δυσκολίες στα μαθηματικά ……………………………………………….5

3. Θεωρητικές προσεγγίσεις………………………………………………………………6

3.1. Η θεωρία επεξεργασίας των πληροφοριών….…………………………………........6

3.2. H θεωρία του Piaget…………………………………………………………………...7

4. Λειτουργικές διαφορές των εγκεφαλικών ημισφαιρίων και ο αντίκτυπος στη μάθηση…………………………………………………………………………………..9

5. Η χρήση των εποπτικών μέσων στα μαθηματικά ως βιωματική δραστηριότητα…10

6. Εργαλείο αξιοποίησης του δεξιού εγκεφαλικού ημισφαίριου για την κατανόηση των δεκαδικών αριθμών ...………….…………………………………………………11

7. Περιγραφή του τρόπου εφαρμογής…….………………………………………………12

8. Συμπεράσματα………………………………………..…………………………………15

9. Βιβλιογραφικές παραπομπές …………………………………………………………..16

Περίληψη

Τα παιδιά σχολικής ηλικίας συμμετέχουν ενεργά στην κατάκτηση των μαθηματικών εννοιών και μεταξύ αυτών στη μάθηση των δεκαδικών αριθμών. Στο πλαίσιο αυτό, η χρήση των κατάλληλων εποπτικών μέσων είναι σημαντική. Όταν μάλιστα το εποπτικό υλικό απευθύνεται στο δεξί εγκεφαλικό ημισφαίριο, που αντιλαμβάνεται και επεξεργάζεται τις εισερχόμενες πληροφορίες με ενιαίο-ολιστικό τρόπο, η μάθηση των δεκαδικών αριθμών γίνεται πιο αποτελεσματική. Ως εκ τούτου, σκοπός αυτής της εργασίας είναι να παρουσιάσει την αξία της χρήσης ειδικών ράβδων κατά τη μάθηση των δεκαδικών αριθμών, αφορώντας κυρίως στα παιδιά με δυσκολίες στα μαθηματικά.

Abstract

School children are actively involved in the acquisition of mathematical concepts and among them in the learning of decimal numbers. In this context, the use of appropriate oversight tools is important. In fact, when the supervisory material is addressed to the right cerebral hemisphere, which perceives and processes incoming information in a unified-holistic way, learning decimal numbers becomes more efficient. Therefore, the purpose of this paper is to present the value of using bars when learning decimal numbers, especially for children with math difficulties.

1. Εισαγωγή

Για τα παιδιά σχολικής ηλικίας, η μάθηση των μαθηματικών όπως για παράδειγμα η κατάκτηση των δεκαδικών αριθμών είναι σημαντικό να λαμβάνει χώρα με βιωματικό τρόπο μέσω της ενεργούς συμμετοχής σε δραστηριότητες (Ainley, Pratt, & Hansen, 2006;Κολέζα, 2010;Τζεκάκη, 2010; Καφούση & Σκουμπουρδή, 2010). Ιδιαίτερα μάλιστα όταν χρησιμοποιείται εποπτικό υλικό, η μάθηση πραγματοποιείται με παιγνιώδη τρόπο και ενισχύονται τα κίνητρα των μαθητών/τριών στην κατάκτηση της μαθηματικής γνώσης (Λεμονίδης, 2006· Σκουμπουρδή, 2012).

Στο πλαίσιο αυτό φαίνεται ότι προκειμένου τα παιδιά να αποκτήσουν μαθηματική γνώση, κρίσιμο ρόλο διαδραματίζουν οι στρατηγικές μάθησης που αξιοποιούν το δεξί εγκεφαλικό ημισφαίριο, το οποίο αντιλαμβάνεται τα διάφορα αντικείμενα με τρόπο ολιστικό (Rourke & Conway,1997).

Ως εκ τούτου, σκοπός αυτής της εργασίας είναι να παρουσιάσει την αξία της χρήσης κατάλληλων ράβδων κατά τη μάθηση των δεκαδικών αριθμών, αφορώντας κυρίως στα παιδιά με δυσκολίες στα μαθηματικά.

2. Παιδιά με δυσκολίες στα μαθηματικά

Τα παιδιά με μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά γίνονται αντιληπτά κυρίως στο πλαίσιο του σχολείου, όπου θα πρέπει να γίνει το καλύτερο δυνατό προκειμένου να βοηθηθούν.

Πολλές προσπάθειες έχουν γίνει μέχρι σήμερα προκειμένου να ορισθούν οι μαθησιακές δυσκολίες ως έννοια. Ωστόσο, οι διάφοροι ορισμοί συγκλίνουν σε κάποια κοινά σημεία. Στο πλαίσιο αυτό, έμφαση δόθηκε στη διάσταση της διακύμανσης ανάμεσα στην ικανότητα και στην ενεργό επίδοση. Πιο συγκεκριμένα, παιδιά με μαθησιακές δυσκολίες είναι εκείνα που παρουσιάζουν μια παιδαγωγικά σημαντική διακύμανση ανάμεσα στο νοητικό τους δυναμικό και στο πραγματικό επίπεδο επίδοσης, η οποία σχετίζεται με βασικές διαταραχές στη μαθησιακή διαδικασία. Οι διαταραχές αυτές δεν συνδέονται απαραίτητα με εμφανή δυσλειτουργία του κεντρικού νευρικού συστήματος, καθώς και ότι αποκλείεται να αποδοθούν αυτές οι δυσκολίες σε νοητική υστέρηση (Τζουριάδου,1995).

Οι δυσκολίες μάθησης εκτός από το γραπτό λόγο, αφορούν και τις δυσκολίες στα μαθηματικά. Σ’ αυτό το πλαίσιο η Κώστα-Τσολάκη (1998) αναφέρει την περίπτωση δυο παιδιών όπου ο μαθηματικός υπολογισμός ήταν επίπονος. Ο ένας μαθητής μπορούσε να εκτελέσει μόνο απλούς μαθηματικούς υπολογισμούς, αλλά παρουσίαζε δυσκολία στην τοποθέτηση στοιχείων κατά την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Ο άλλος μαθητής δεν μπορούσε να γράψει καθ’ υπαγόρευση πολυψήφιους αριθμούς ενώ ήταν ικανός να εκτελέσει απλά αθροιστικά προβλήματα.

Σε άλλη έρευνα (Αγαλιώτης,1999) έγινε προσπάθεια να προσδιοριστούν τα είδη των λαθών που κάνουν οι μαθητές στα μαθηματικά. Τα αποτελέσματα της μελέτης έδειξαν ότι τα λάθη αυτά διακρίνονται σε 7 κατηγορίες. Έτσι, το 35,8% του συνόλου των λαθών αφορά λάθη με το 0 (μηδέν), το 32,9% του συνόλου των λαθών αφορά λάθη ελαττωματικού αλγόριθμου και παραβίαση της αξίας ως προς τη θέση, το 11,1% αφορά λάθη στο δανεισμό, το 8,4% αφορά στην άγνοια αλγορίθμου, το 3,0% αφορά στη λάθος πράξη (άλλη αντί άλλης π.χ. εκτέλεση πρόσθεσης αντί αφαίρεσης), το 1,9% αφορά στην κατεύθυνση εκτέλεσης της μαθηματικής πράξης και τέλος σε ποσοστό 6,9% αφορά συνδυασμό λαθών.

3. Θεωρητικές προσεγγίσεις αναφορικά με τη μάθηση

3.1. Θεωρία επεξεργασίας των πληροφοριών

Σύμφωνα με αυτή τη θεωρητική προσέγγιση, η μάθηση γίνεται αντιληπτή ως διαδικασία επεξεργασίας των πληροφοριών, η οποία επικεντρώνεται: στην αρχική εισερχόμενη πληροφορία (όπως για παράδειγμα: οπτικά ερεθίσματα), στη διεργασία επεξεργασίας της πληροφορίας και ολοκληρώνεται με την πραγματοποίηση κάποιας λογικής ενέργειας. Η θεώρηση αυτή παρουσιάζει τις βασικές γνωστικές λειτουργίες και τα χαρακτηριστικά του νευρικού συστήματος του ανθρώπου κατά τη μάθηση. Μάλιστα αυτή η μαθησιακή διαδικασία παραλληλίζεται με τον τρόπο λειτουργίας ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή. Έτσι, στον ηλεκτρονικό υπολογιστή υπάρχουν τα εισερχόμενα στοιχεία (αντιστοίχως στο νευρικό σύστημα είναι π.χ. τα κιναισθητικά ερεθίσματα), η επεξεργασία δεδομένων (αντιστοίχως υπάρχουν οι γνωστικές λειτουργίες π.χ. μνήμη) και τα εξερχόμενα στοιχεία (αντιστοίχως εκδηλώνεται ανάλογη δράση) (Κολέζα, 2000; Κασσωτάκης & Φλουρής, 2005).

Στο πλαίσιο της θεωρίας επεξεργασίας των πληροφοριών, σημαντική θέση κατέχει το μνημονικό σύστημα. Στο σύστημα αυτό υφίστανται τρεις τύποι μνήμης: οι αισθητηριακές εγγραφές, η βραχύχρονη ή εργαζόμενη μνήμη και η μακροπρόθεσμη μνήμη (Κολέζα, 2000; Κασσωτάκης & Φλουρής, 2005). Πιο συγκεκριμένα, οι αισθητηριακές εγγραφές συμβάλλουν στη διατήρηση των εισερχόμενων πληροφοριών για μικρό χρονικό διάστημα αρκετό όμως προκειμένου να ενεργοποιηθεί η λειτουργία της αντίληψης δίνοντας νόημα στα εισερχόμενα ερεθίσματα (μη συνειδητή λειτουργία).

Όσον αφορά στη βραχύχρονη μνήμη, φαίνεται ότι στο πλαίσιο αυτής, η εισερχόμενη πληροφορία γίνεται στοιχείο επικέντρωσης της προσοχής (ενσυνείδητη λειτουργία) και μάλιστα το άτομο δύναται να παρέμβει σε αυτήν. Η εν λόγω γνωστική λειτουργία αποτελεί την εργαζόμενη μνήμη, η οποία παρέχει προσωρινή δυνατότητα αποθήκευσης των εισερχομένων πληροφοριών, για χρονική διάρκεια από 20 έως 30 δευτερολέπτων. Επίσης, διαθέτει μικρή χωρητικότητα εισερχομένων στοιχείων με δυνατότητα από 5 έως 9 μονάδες πληροφορίας (7+ - 2).

Εστιάζοντας στον τρίτο τύπο μνήμης, μπορεί να ειπωθεί ότι η μακροπρόθεσμη μνήμη θεωρείται ως μόνιμη αποθήκευση και διατήρηση των πληροφοριών. Η μνημονική καταγραφή πραγματοποιείται με σημασιολογική μορφή (π.χ. γνωστικά σχήματα, μαθηματικές έννοιες, αλγόριθμοι, νοητικές εικόνες). Αξίζει να σημειωθεί ότι το άτομο δύναται να ανακαλέσει από τη μνήμη του τις κατάλληλες αποθηκευμένες πληροφορίες, προκειμένου να τις αξιοποιήσει κατά την επεξεργασία κάποιου προβλήματος.

3.2. H θεωρία του Piaget

Σύμφωνα με τον Piaget (1970, 1977) ως γνωστική ανάπτυξη θεωρείται το αποτέλεσμα της εσωτερικής ωρίμανσης του ατόμου, κατά βάση, αλλά και των εμπειριών κατά τη συμμετοχή του σε λογικομαθηματικές δραστηριότητες.

Η γνωστική ανάπτυξη ακολουθεί παρόμοια πορεία με τη σωματική ανάπτυξη, η οποία αρχίζει κατά τη γέννηση και ολοκληρώνεται στη γεροντική ηλικία. Στο πλαίσιο αυτό σύμφωνα με τον Piaget (1970, 1977), έχουν προσδιοριστεί τέσσερα στάδια ανάπτυξης, ως ακολούθως:

-Το πρώτο στάδιο της γνωστικής ανάπτυξης είναι το αισθησιοκινητικό (έως 2 ετών). Σε αυτή τη φάση το παιδί αντιλαμβάνεται τον κόσμο μέσω των κινήσεών του και μάλιστα είναι σημαντική η άσκηση των αισθήσεων στην ανάπτυξη αυτών των κινήσεων.

-Το δεύτερο στάδιο της γνωστικής ανάπτυξης αφορά τη συμβολική νοημοσύνη, το οποίο λαμβάνει χώρα κατά το χρονικό διάστημα από 2 έως 7 ετών. Στο στάδιο αυτό το παιδί δύναται να θέσει κάποιο στόχο. Ωστόσο, η επίτευξη αυτού του στόχου μπορεί να συμβεί μόνο με τη χρήση συγκεκριμένου υλικού και μέσα από πολλές προσπάθειες είτε επιτυχημένες είτε λιγότερο εύστοχες.

-Το τρίτο στάδιο αναφέρεται στην αναπτυξιακή φάση των συγκεκριμένων νοητικών ενεργειών, το οποίο λαμβάνει χώρα κατά το ηλικιακό φάσμα μεταξύ 7 και 11ετών. Στο στάδιο αυτό το παιδί είναι σε θέση να αντιληφθεί τη λογική οργάνωση του υλικού, όπως για παράδειγμα τη σειροθέτηση και την ταξινόμηση. Ωστόσο, και σε αυτή την περίοδο είναι απαραίτητη η παρουσία εποπτικού υλικού, προκειμένου να υλοποιήσει τέτοιες πράξεις. Αξίζει να σημειωθεί ότι σε αυτή τη φάση παρουσιάζονται οι τρεις εκφάνσεις της αντιστρέψιμης σκέψης ως εξής: Μια έκφανση αφορά στο γεγονός ότι μια ποσότητα παραμένει αμετάβλητη, ανεξάρτητα από τους διάφορους μετασχηματισμούς που μπορεί να λάβουν χώρα, ορίζοντας έτσι την αρχή της ταυτότητας (για παράδειγμα: 1,0 = 0,9 + 0,1 = 0,7+0,3). Η δεύτερη έκφανση της αντιστρέψιμης σκέψης αναφέρεται στην άρνηση ή αναστροφή, όπως για παράδειγμα: 0,8-0,8=0. Εστιάζοντας στην τρίτη έκφανση της αντιστρέψιμης σκέψης, φαίνεται ότι αυτή αφορά την αμοιβαιότητα, σύμφωνα με την οποία η βάση δεν αλλάζει όταν επιδράσουν δυο αντίθετες ενέργειες πάνω της. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 δεν παρουσιάζει καμιά μεταβολή αν πολλαπλασιαστεί και στη συνέχεια διαιρεθεί με τον αριθμό 2. Δηλαδή 0,5·2=1,0 και 1,0: 2=0,5.

-Το τέταρτο στάδιο της γνωστικής ανάπτυξης χαρακτηρίζεται ως η περίοδος των τυπικών πράξεων, η οποία εμφανίζεται κατά το χρονικό διάστημα από 11 έως 14 ετών. Σε αυτό το στάδιο η σκέψη του παιδιού εξελίσσεται σημαντικά και δύναται να λειτουργεί και σε θεωρητικό επίπεδο χωρίς την παρουσία αντικειμένων.

Βάσει αυτών των σταδίων της γνωστικής ανάπτυξης, φαίνεται ότι ως επί των πλείστων η παρουσία και η χρήση συγκεκριμένου υλικού θεωρείται εποικοδομητική για την εξέλιξη του παιδιού.

4. Λειτουργικές διαφορές των εγκεφαλικών ημισφαιρίων και ο αντίκτυπος στη μάθηση

Το βασικότερο όργανο του νευρικού συστήματος του ανθρώπου είναι ο εγκέφαλος, ο οποίος αποτελείται από δυο ημισφαίρια: το αριστερό και το δεξί. Σύμφωνα με τα ερευνητικά δεδομένα (Hayes,1994; Σαββάκη,1997; Rourke & Conway,1997; Αγαλιώτης, 2000; Vitale,2008), υπάρχουν λειτουργικές διαφορές μεταξύ τους. Έτσι, όσον αφορά το αριστερό ημισφαίριο, έχει παρατηρηθεί ότι σ’ αυτό εδρεύει η γλώσσα (κέντρα του λόγου) και μάλιστα η εν λόγω εγκεφαλική περιοχή υπερτερεί στον σειριακό και αναλυτικό τρόπο επεξεργασίας των πληροφοριών εντοπίζοντας λεπτομέρειες (αναλυτική σκέψη). Επίσης, ελέγχει την αντίληψη του χρόνου, τη λεκτική μνήμη, καθώς και την επεξεργασία ακουστικών ερεθισμάτων.

Από την άλλη, εστιάζοντας στο δεξί εγκεφαλικό ημισφαίριο, έχει καταγραφεί (Hayes,1994; Σαββάκη,1997;Rourke & Conway,1997; Αγαλιώτης, 2000;Vitale,2008) ότι αυτή η περιοχή χαρακτηρίζεται από την ολιστική αντίληψη των εισερχομένων πληροφοριών (ολιστική - συνθετική σκέψη), η οποία ελέγχει: την οπτική αντίληψη του χώρου, την οπτική μνήμη, την κιναίσθηση και την επεξεργασία των ερεθισμάτων της αφής, καθώς επίσης και την αντίληψη των χρωμάτων. Επιπλέον, σημειώνεται ότι το συγκεκριμένο ημισφαίριο υπερτερεί ως προς την αντίληψη σύνθετων σχημάτων, μορφών με νόημα, χειροπιαστών αντικειμένων και την απομνημόνευση της βιωματικής εφαρμογής των εννοιών.

Αυτή η διαφοροποίηση ως προς τη λειτουργία των εγκεφαλικών ημισφαιρίων έχει ιδιαίτερη σημασία στη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών (Rourke & Conway,1997;Αγαλιώτης, 2000).Στο πλαίσιο αυτό, είναι προφανές ότι η μεθοδολογία, που εφαρμόζεται στην εκπαίδευση, απευθύνεται κυρίως στις λειτουργίες του αριστερού ημισφαιρίου (αναλυτική σκέψη). Ωστόσο, αυτός ο τρόπος δυσκολεύει τους/τις μαθητές/μαθήτριες, που έχουν ως κυρίαρχη εγκεφαλική περιοχή το δεξί ημισφαίριο (ολιστική - συνθετική σκέψη) (Σαββάκη, 1997;Vitale,2008).

5. Η χρήση των εποπτικών μέσων στα μαθηματικά ως βιωματική δραστηριότητα

Προκειμένου τα παιδιά να αποκτήσουν τις κατάλληλες μαθηματικές έννοιες, είναι σημαντικό να συμμετέχουν ενεργά και βιωματικά σε σχετικές δραστηριότητες που έχουν νόημα για τα ίδια, αξιοποιώντας συγκεκριμένα μαθηματικά αντικείμενα (Ainley, Pratt, & Hansen, 2006; Τζεκάκη,2010; Καφούση & Σκουμπουρδή, 2010; Σκουμπουρδή, 2012). Άλλωστε η κιναισθητική δραστηριότητα αναγνωρίζεται ως πρωταρχική πηγή της μαθηματικής γνώσης (Bruner,1966;Cobb,1987). Όταν μάλιστα κατά τη μάθηση χρησιμοποιείται παιγνιώδης τρόπος, ενισχύονται τα κίνητρα των εκπαιδευομένων προς αυτή την κατεύθυνση (Λεμονίδης,2006; Σκουμπουρδή, 2012). Κατά την πραγματοποίηση των δραστηριοτήτων είναι χρήσιμο οι μαθητές/μαθήτριες να έχουν τη δυνατότητα να απαριθμούν και να δημιουργούν συλλογές αντικειμένων σε διάφορες καταστάσεις (Καφούση & Σκουμπουρδή, 2010). Αξίζει να σημειωθεί ότι τα παιδιά δύνανται να επιλύσουν απλά μαθηματικά προβλήματα ακόμα και δίχως να τα έχουν διδαχτεί. Για να μπορέσουν, ωστόσο, να αποδώσουν αποτελεσματικά στο έργο αυτό, είναι αρκετό να δίδεται η ευκαιρία να χρησιμοποιούν χειροπιαστά υλικά (Carpenter–Moser, 1982; Σαββάκη,1997; Rourke & Conway, 1997). Προς αυτή την κατεύθυνση φαίνεται μάλιστα ότι για να αποκτηθεί η μαθηματική γνώση, καταλυτικό ρόλο διαδραματίζουν οι στρατηγικές μάθησης που λαμβάνουν χώρα στο δεξί ημισφαίριο του εγκεφάλου, το οποίο αντιλαμβάνεται τα χειροπιαστά υλικά με τρόπο ολιστικό (ολότητες) (Rourke & Conway, 1997; Vitale, 2008).

6. Εργαλείο αξιοποίησης του δεξιού εγκεφαλικού ημισφαίριου για την κατανόηση των δεκαδικών αριθμών

Στο πλαίσιο της χρήσης εποπτικών μέσων στα μαθηματικά, ένα εποπτικό εργαλείο αποτελεί η κατασκευή με ειδικές ράβδους. Πρόκειται για μια κατασκευή εκτέλεσης μαθηματικών πράξεων, που αποτελείται από ενιαίες ράβδους αρίθμησης (ολότητες) εναλλασσόμενων χρωμάτων. Οι μαθηματικές έννοιες δίδονται με παραστατικό τρόπο και παράλληλα παρέχεται η δυνατότητα στον χρήστη να εκτελέσει τις τέσσερις μαθηματικές πράξεις δεκαδικών αριθμών, με τρόπο βιωματικό.

Κατασκευές αρίθμησης υπάρχουν, αλλά απευθύνονται στις λειτουργίες του αριστερού εγκεφαλικού ημισφαιρίου, όπου σύμφωνα με τα δεδομένα της νευροψυχολογίας (Hayes,1994; Σαββάκη,1997; Rourke & Conway,1997; Αγαλιώτης, 2000; Vitale,2008), εδρεύει ο αναλυτικός τρόπος σκέψης. Επίσης, κατά το πρώτο στάδιο αντίληψης, ο κατακερματισμός δυσκολεύει την κατανόηση ενώ η ολότητα τη διευκολύνει (Montessori,1985; Rourke & Conway, 1997; Vitale, 2008).

Το πλεονέκτημα της παρούσας κατασκευής είναι ότι παρέχει τη δυνατότητα διαφοροποίησης της αξίας μεταξύ των δεκαδικών αριθμών με παραστατικό τρόπο, δεδομένου ότι η ράβδος π.χ. του αριθμού 0,3 έχει τριπλάσιο μήκος από τη ράβδο του αριθμού 0,1. Γίνεται άμεσα αντιληπτή η αξία (μέγεθος ράβδου) κάθε δεκαδικού αριθμού καθώς συγκρίνεται με τους άλλους. Δίνει, επίσης, την ευκαιρία στο παιδί να ψηλαφίσει το ανάγλυφο σύμβολο αριθμού σε κάθε ράβδο, αλλά και να δράσει κιναισθητικά χρησιμοποιώντας αυτές τις τρισδιάστατες ράβδους.

Επιπλέον, παρέχει την ολότητα (ενιαίες ράβδοι αριθμών) αξιοποιώντας έτσι τις λειτουργίες του δεξιού εγκεφαλικού ημισφαιρίου, το οποίο, σύμφωνα με τα δεδομένα της νευροψυχολογίας (Hayes,1994; Σαββάκη,1997; Rourke & Conway,1997; Αγαλιώτης, 2000; Vitale, 2008), επεξεργάζεται τις εισερχόμενες πληροφορίας ως ενιαίες και ολοκληρωμένες μορφές και όχι κατακερματισμένες.

Τέλος, το παιδί αποκτά τη δυνατότητα να εκτελεί μαθηματικές πράξεις (π.χ. πρόσθεση, αφαίρεση) χρησιμοποιώντας τις ράβδους-αριθμούς με κατάλληλο τρόπο. Σ’ αυτό συμβάλλει και η χρήση της έννοιας της ισότητας, η οποία γίνεται αντιληπτή παραστατικά καθώς μορφή ράβδου. Ως ολοκληρωμένη μορφή με νόημα παρέχεται προς μάθηση και η διαδικασία του πολλαπλασιασμού αλλά και της διαίρεσης, καθώς παρουσιάζονται με παιγνιώδη μορφή τρένου.

7. Περιγραφή του τρόπου εφαρμογής

Στο συγκεκριμένο εποπτικό υλικό κάθε δεκαδικός αριθμός παριστάνεται με τη δική του ράβδο, το μήκος της οποίας κυμαίνεται ανάλογα με την αξία του αριθμού. Έτσι, π.χ. το μήκος της ράβδου του δεκαδικού αριθμού 0,2 είναι διπλάσιο από τη ράβδο του 0,1, ενώ η ράβδος του 0,5 είναι πενταπλάσια από τη ράβδο του 0,1 (το 0,1 έχει μορφή κύβου). Αν αυτές τοποθετηθούν στην κατάλληλη ακολουθία, σχηματίζεται μια κλίμακα (σκάλα). Επίσης, στην επιφάνεια των ράβδων υφίσταται εναλλαγή χρωμάτων ανά μονάδα, που διευκολύνει την οπτική αντίληψη της πληθυκότητας σε κάθε ράβδο. Για παράδειγμα, η ράβδος του 0,4 έχει τέσσερα ενωμένα τμήματα, δηλαδή χρωματικά ίχνη που εναλλάσσονται (πορτοκαλί- κίτρινο- πορτοκαλί-κίτρινο).

Εκτός από τη βασική ακολουθία των ράβδων από το 0,1 έως το 1,0 (οι ράβδοι είναι τοποθετημένες πάνω σε επικλινή επιφάνεια), υπάρχουν και αντίστοιχα συμπληρώματα (ράβδοι), με τη χρήση των οποίων δύνανται να εκτελεστούν προσθέσεις και αφαιρέσεις. Επίσης, υπάρχει και μια μονόχρωμη ειδική ράβδος με το σύμβολο ίσον (=), η οποία τοποθετείται εγκάρσια σε σχέση με τις ράβδους των αριθμών και το μήκος της διανύει όλη τη βασική ακολουθία των αριθμών-ράβδων. Κατά την εκτέλεση της πρόσθεσης δυο αριθμών π.χ. 0,7+0,3, αφού τοποθετηθεί η ράβδος του 0,3 (ράβδος- συμπλήρωμα) πάνω (κατά μήκος) στη ράβδο του 0,7, τοποθετούμε στη συνέχεια το «ίσον» πάνω στην κορυφή αυτών των αθροισμένων ράβδων (σχηματίζεται ορθή γωνία) επιδιώκοντας να γεφυρώσουμε («ίσα-ίσα») αυτή την κορυφή με την κορυφή κάποιας άλλης ράβδου-αριθμού. Ο σχηματισμός της γεφύρωσης ομοιάζει με το ελληνικό γράμμα Π (πι). Συνεπώς, στην πρόσθεση 0,7+0,3 η γέφυρα (ράβδος του ίσον) εξισώνει την αναφερόμενη κορυφή με εκείνη της ράβδου-αριθμού 1,0, καταλήγοντας στο 0,7+0,3= 1,0 (μπορεί, να υπολογιστεί και 1,0-0,3=0,7 κάνοντας αφαίρεση, δηλαδή η ράβδος του 0,3 που τοποθετήθηκε προηγουμένως, τώρα απομακρύνεται και μένει η ράβδος του 0,7).

Επίσης, είναι εφικτό να κάνουμε πρόσθεση και στην περίπτωση υπέρβασης της δεκάδας. Αν θέλουμε π.χ. να υπολογίσουμε 0,8+0,6, τοποθετούμε τη ράβδο του 0,6 πάνω στη ράβδο του 0,8. Στην κορυφή της ένωσης αυτών των δυο ράβδων προσαρμόζουμε κάθετα το «ίσον» και παρατηρούμε ότι υπάρχει απόσταση (κενό) ανάμεσα στη ράβδο του ίσον και στην κορυφή της ράβδου του 1,0. Δοκιμάζουμε (δοκιμή και λάθος) να γεμίσουμε αυτό το κενό (διαφορά) χρησιμοποιώντας πιθανές ράβδους-συμπλήρωμα. Διαπιστώνουμε ότι η καταλληλότερη είναι η ράβδος του 0,4, η οποία είναι ικανή να καλύψει την απόσταση από την κορυφή του 1,0 έως τη ράβδο του «ίσον». Άρα 0,8+0,6=1,0+0,4=1,4.

Με παρόμοιο τρόπο μπορεί να λυθεί μια εξίσωση με έναν άγνωστο, όπως π.χ. 0,7+χ=1,0. Στην περίπτωση αυτή παίρνουμε τη ράβδο του «ίσον» και την τοποθετούμε στην κορυφή του 1,0, έτσι ώστε να περνάει πάνω από τον άξονα του 0,7 σχηματίζοντας ορθή γωνία. Βλέπουμε ότι υπάρχει κάποιο κενό μεταξύ της κορυφής του 0,7 και του «ίσον». Με δοκιμή και λάθος μπορεί να βρεθεί ποιος αριθμός-ράβδος δύναται να γεμίσει το κενό αυτό. Διαπιστώνεται ότι ταιριάζει ο αριθμός-ράβδος 0,3. Συνεπώς η λύση της εξίσωσης είναι: χ=0,3.

Επιπλέον, με παραστατικό τρόπο λαμβάνει χώρα η εκτέλεση τόσο του πολλαπλασιασμού όσο και της διαίρεσης. Αποτελείται από ενωμένες αναδιπλωμένες λωρίδες με εναλλαγή χρωμάτων και έχει μορφή τρένου (απεικονίζει ατμομηχανή και βαγόνια. Κάθε τρενάκι αποτελείται από 10 βαγόνια (συμπεριλαμβάνεται και η ατμομηχανή). Σε αυτά τα χρώματα (πορτοκαλί- κίτρινο) εναλλάσσονται από βαγόνι σε βαγόνι. Στο τέλος κάθε βαγονιού αναγράφεται ο κατάλληλος αριθμός, όπως π.χ. στο πρώτο βαγόνι (παριστάνει την ατμομηχανή) από το τρενάκι του 0,3 αναγράφεται ο αριθμός 0,3, στο πέμπτο βαγόνι αναγράφεται ο αριθμός 1,5, ενώ στο δέκατο αναγράφεται ο αριθμός 3,0. Το πλήθος των τροχών (ρόδες) κάθε βαγονιού εξαρτάται από το τρενάκι της προπαίδειας στο οποίο ανήκει, π.χ. σε κάθε βαγόνι του 0,8 υπάρχουν 8 τροχοί , ενώ σε κάθε βαγόνι του 0,2 υπάρχουν 2 τροχοί. Έτσι, αν θέλει το παιδί να βρει πόσο κάνει 5 φορές το 0,2 (5Χ0,2), θα χρειαστεί να αναπτύξει το τρενάκι του 0,2 έτσι ώστε να εμφανιστούν 5 βαγόνια του (όσες είναι οι “φορές” που πολλαπλασιάζουμε τόσα και τα βαγόνια που αναπτύσσουμε). Παρατηρείται ότι στο τέλος του 5^ου βαγονιού αναγράφεται ο αριθμός 1,0. Συνεπώς 5Χ0,2=1,0.

Κατά την εκτέλεση της διαίρεσης χρησιμοποιείται κάποια ράβδος-αριθμός σε συνδυασμό με το αντίστοιχο τρενάκι, για την υλοποίηση της έννοιας «πόσες φορές χωράει». Έτσι, στην περίπτωση που έχουμε να βρούμε το αποτέλεσμα 3,0 διά 0,6 (3,0:0,6), παίρνουμε τη ράβδο του 0,6 και την τοποθετούμε πάνω στο τρενάκι του 0,6, το οποίο έχουμε αναπτύξει ολόκληρο ώστε να είναι ορατά όλα τα βαγόνια του. Στη συνέχεια μετακινούμε τη ράβδο του 0,6 (σαν φορτίο) πάνω στο τρενάκι (βαγόνι – βαγόνι) και μετράμε πόσες φορές χωράει ολόκληρη αυτή η ράβδος στο διάστημα από την αρχή αυτού του τρένου μέχρι τον αναφερόμενο αριθμό 3,0. Διαπιστώνουμε ότι χωράει 5 φορές. Άρα 3,0:0,6=5.

8. Συμπεράσματα

Λαμβάνοντας υπόψη όλα τα προαναφερθέντα στοιχεία, μπορεί να ειπωθεί ότι τα εποπτικά μέσα και κυρίως η χρήση της κατασκευής με ειδικές ράβδους, που αξιοποιεί το δεξί εγκεφαλικό ημισφαίριο των μαθητών/τριών (Σαββάκη, 1997· Vitale, 2008), συμβάλλουν καταλυτικά στη μάθηση των μαθηματικών και ειδικότερα στην κατανόηση των δεκαδικών αριθμών.

Αξίζει να σημειωθεί ότι το συγκεκριμένο εργαλείο με τις ειδικές ράβδους βρίσκει κυρίως εφαρμογή στο πλαίσιο της Ειδικής Αγωγής. Δεδομένου ότι το συγκεκριμένο χειροπιαστό υλικό αξιοποιεί το δεξί εγκεφαλικό ημισφαίριο, δύναται να παρέχει διορθωτική αγωγή σε μαθητές/μαθήτριες με δυσκολίες μάθησης στα μαθηματικά. Ακολουθεί την άποψη πως τα παιδιά με μαθησιακές δυσκολίες παρά το γεγονός ότι υστερούν ως προς τις λειτουργίες του αριστερού εγκεφαλικού ημισφαιρίου, οι λειτουργίες του δεξιού ημισφαιρίου διατηρούνται ακμαίες (Vitale, 2008).

9. Βιβλιογραφικές παραπομπές

Ελληνόγλωσσες

Αγαλιώτης, Ι.(1999). Η σημασία της γνωστικής ανάλυσης των λαθών στην περίπτωση καταρτισμού υποστηρικτικών διδακτικών προγραμμάτων για παιδιά με μαθησιακές δυσκολίες στην Αριθμητική. Το δικαίωμα στη διαφορά στην πράξη, 109, 26-33.

Αγαλιώτης, Ι. (2000). Μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά: αιτιολογία - αξιολόγηση – αντιμετώπιση. Αθήνα: Ελληνικά Γράμματα.

Κασσωτάκης, Μ. & Φλουρής, Γ. (2005). Μάθηση και διδασκαλία. Θεωρία, πράξη και αξιολόγηση της διδασκαλίας. Αθήνα: Αυτοέκδοση.

Καφούση, Σ. &Σκουμπουρδή, Χ. (2010). Μαθηματικά των παιδιών 4 με 6 ετών-Αριθμοί και χώρος. Αθήνα: Πατάκη

Κολέζα, Ε. (2000). Γνωσιολογική και διδακτική προσέγγιση των στοιχειωδών μαθηματικών εννοιών. Αθήνα: Leader Book.

Κολέζα, Ε. (2010). Θεωρία και πράξη στη διδασκαλία των μαθηματικών. Αθήνα: Επιστημονικές εκδόσεις.

Κώστα-Τσολάκη, Μ.(1998). Θέματα νευρολογίας και νευρολογική εκτίμηση. Θεσσαλονίκη: Σάκκουλα.

Λεµονίδης Χ. (2006). Οι αρχές για τη διδασκαλία και ο εκσυγχρονισµός των αριθµητικών εννοιών στα νέα βιβλία της Α΄ τάξης του δηµοτικού σχολείου. Γέφυρες, 30, 30-39.

Σαββάκη, Ε.(1997). Οι παράλληλοι εαυτοί μας: Λογική σκέψη και διαίσθηση: Συνείδηση χωρίς ομιλία: Ενοποίηση μέσω του ομιλούντος εαυτού. Ηράκλειο Κρήτης: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.

Σκουμπουρδή, Χ.(2012). Σχεδιασμός ένταξης υλικών και μέσων στη μαθηματική εκπαίδευση των μικρών παιδιών. Αθήνα: Πατάκη.

Τζεκάκη, Μ. (2010). Μαθηµατική εκπαίδευση για την προσχολική και πρώτη σχολική ηλικία. Θεσσαλονίκη: Ζυγός.

Τζουριάδου, Μ. (1995). Παιδιά με ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες. Θεσσαλονίκη: Προμηθεύς

Ξενόγλωσσες

Ainley, J., Pratt, D., & Hansen, A. (2006). Connecting engagement and focus in pedagogic task design. British Educational Research Journal, 32(1), 23–38.

Bruner, J. (1966). The Process of Education. Cambridge: Harvard University Press.

Carpenter, T. P., & Moser, J. M. (1982). The Development of Addition and Subtraction Problem-Solving Skills. In T. P. Carpenter, J. M. Moser, & T. A. Romberg (Eds.), Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective (pp. 9-24). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaurn Associates.

Hayes, S. C. (1994). Content, context, and the types of psychological acceptance. In S. C. Hayes, N. S. Jacobson, V. M. Follette, & M. J. Dougher (Eds.), Acceptance and change: Content and context in psychotherapy (pp. 13-32). Reno, NV: Context Press.

Montessori, M. (1985). Η ανακάλυψη του παιδιού. Αθήνα: Γλάρος

Piaget, J. (1970). Genetic epistemology. New York,: Columbia University Press

Piaget, J. (1977). The development of thought: Equilibration of cognitive structures. (Trans A. Rosin). Viking.

Rourke, B. & Conway, J. (1997). Disabilities of Arithmetic and Mathematical Reasoning: Perspectives From Neurology and Neuropsychology. Journal of Learning Disabilities, 30(1), 34-46.

Vitale, B. (2008). Οι μονόκεροι υπάρχουν: Το δεξί ημισφαίριο του εγκεφάλου και η συμβολή του στη μάθηση. Αθήνα: Θυμάρι.

ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

Ονοματεπώνυμο: Χάλιος Ηλίας

1.ΤΙΤΛΟΙ ΣΠΟΥΔΩΝ

· Κτήση Διδακτορικού Διπλώματος (ΠΤΔΕ, Παν. Αιγαίου)

· Κτήση Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στο Πρόγραμμα «Σπουδές στην εκπαίδευση» (ΕΑΠ)

· Ολοκλήρωση Μετεκπαίδευσης στο Διδασκαλείο Δημοτικής Εκπαίδευσης «ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΓΛΗΝΟΣ» στην Εδική Αγωγή (ΑΠΘ).

· Κτήση Πτυχίου Ψυχολογίας (ΑΠΘ).

· Κτήση Πτυχίου Παιδαγωγικής Ακαδημίας Ιωαννίνων

· Πιστοποιημένη γνώση Αγγλικής γλώσσας επιπέδου Γ1

2. ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑ

Εν ενεργεία μόνιμος εκπαιδευτικός στη Δημόσια Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση από το 1987. Τον Σεπτέμβριο 2000 πήρα οργανική θέση στην Ειδική Αγωγή και Εκπαίδευση (Τμήμα Ένταξης). Από τον Μάρτιο 2012 υπηρετώ ως Υπεύθυνος Αγωγής Υγείας της Δ/νσης Πρωτ. Εκπαίδευσης Δυτικής Θεσσαλονίκης.

© Copyright-VIPAPHARM. All rights reserved